Cara Menyelesaikan Matriks Ordo 3x3

CARA MENYELSAIKAN MATRIKS ORDO 3X3

Suatu matriks dapat dibalik jika dan hanya jika matriks tersebut adalah matriks persegi (matriks yang berukuran n x n) dan matriks tersebut non-singular (determinan 0). Tidak semua matriks memiliki invers. Invers matriks dapat didefinisikan sebagai berikut.

Definisi :

Jika A adalah suatu matriks kuadrat, dan jika kita dapat mencari matriks B sehingga AB = BA = I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers dari A

Contoh 1 :

Hitung invers matriks A_2×2 berikut A = .

Penyelesaian :

Jika kita punya matriks 2×2, misal A = , maka invers matriks dapat dihitung menggunakan rumus

A^-1 = B =

=

=

Cek, apakah AB = BA = I

AB = = = I

BA = = = I

Karena AB = BA = I, maka berdasarkan Definisi, B adalah invers dari matriks A.

Bagaimana cara menghitung invers jika matriksnya memiliki ordo lebih dari 2? Misal matriks 3×3, 4×4, dan seterusnya. Pada matriks yang berordo lebih dari dua ini kita akan memanfatkan Eliminasi Gauss Jordan.

Contoh 2 :

Carilah invers matriks 3×3 yaitu A =

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini.

Matriks disebelah kiri adalah matriks A dan sebelah kanan adalah matriks identitas. Kemudian lakukan Operasi Baris Elementer sedemikan sehingga matriks sebelah kiri menjadi matriks identitas dan matriks identitas (pada sebelah kanan) yang akan menjadi invers matriks tersebut.

1. baris kedua : B₂ + (-2B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -2 kali baris pertama]

baris ketiga : B₃ + (-B₁) [artinya baris kedua dijumlahkan dengan -1 kali baris pertama]

2. baris ketiga : B₃ + 2B₂ [artinya baris ketiga dijumlahkan dengan 2 kali baris kedua]

3. baris ketiga : B₃ x (-1) [artinya baris ketiga dikali dengan -1]

4. baris kedua : B₂ + 3B₃ [artinya baris kedua dijumlahkan dengan 3 kali baris ketiga]

baris pertama : B₁ + (-3B₃) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -3 kali baris ketiga]

5. baris pertama : B₁ + (-2B₂) [artinya baris pertama dijumlahkan dengan -2 kali baris kedua]

Karena matriks kiri sudah terbentuk menjadi matriks identitas, maka invers dari matriks A adalah A^-1 = 

 

Contoh 3 :

Periksa apakah matriks A_3×3 memiliki invers? Jika, tentukan inversnya, dengan A = .

Penyelesaian :

Susun matriks sedemikian sehingga seperti dibawah ini, kemudian lakukan Operasi Baris Elementer

1. baris pertama : B₁ x (1/3)

2. baris kedua : B₂ + (-2B₁)

baris ketiga : B₃ + 4B₁

Perhatikan matriks sebebelah kiri pada baris kedua dan ketiga. Karena baris kedua dan ketiga memiliki entry yang sama, ini mengakibatkan matriks tersebut memiliki dterminannya nol, sehingga matriks tersebut tidak memiliki invers.

Pengenalan Matrik

Pengenalan Matriks

Matriks adalah kumpulan bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan kolom. Bilangan yang tersusun dalam baris dan kolom disebut elemen matriks. Nama matriks ditulis dengan menggunakan huruf kapital.
Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks.
Bentuk umum:

• Jenis-jenis Matriks

1.      Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki satu baris. Contoh :  A = [ 2  3  0  7 ]

2.      Matriks kolom adalah matriks yang hanya memiliki satu kolom. Contoh :

3.      Matriks persegi adalah matriks yang jumlah kolomnya sama. Contoh:

4.      Matriks Identitas adalah matriks persegi yang elemen-elemen pada diagonal utamanya1, sedangkan semua elemen yang lainnya nol. Contoh:

5.      Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen-elemen dibawah diagonal utamanya nol.                              Contoh:

6.      Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen-elemen diatas diagonal utamanya nol.                              Contoh:

7.        Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya nol. Contoh:

• Operasi Pada Matriks

Pada matriks dikenal beberapa jenis operasi seperti penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Dalam masing-masing operasi tersebut punya karakteristik sendiri-sendiri. Berikut selengkapnya:
    1. penjumlahan Matriks
Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan terhadap matriks-matriks yang mempunyai ukuran (orde) yang sama. Jika A=(aij) dan B=(bij) adalah matriks-matriks berukuran sama, maka A+B adalah suatu matriks C=(cij) dimana (cij) = (aij)+(bij) atau [A]+[B] = [C] mempunyai ukuran yang sama dan elemennya (cij) = (aij) + (bij)
Contoh:

A+C tidak terdefinisi (tidak dapat dicari hasilnya) karena matriks A dan matriks B mempunyai ukuran yang berbeda
  2. Pengurangan Matriks
Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berbeda maka matriks hasil tidak terdefinisikan.
Contoh:

 3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(aij) maka matriks kA(kaij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij ) = (ka_ij )
Pada perkalian matriks dengan skalar berlaku hukum distributif dimana k(A+B)=kA+kB
Contoh:
 4. Perkalian Matriks dengan Matriks
Beberapa hal yang harus diperhatikan:

1. Perkalian matriks dengan matriks umumnya tidak komutatif
2. Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua
3. Jika matriks A berukuran mxp dan matriks pxn maka perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij) berukuran mxn dimana

Contoh:

5. Transpose Matriks
Transpose dari suatu matriks merupakan pengubahan baris menjadi kolom dan kolom menjadi baris. Transpos dari matrik A dinotasikan A^T. Jadi mirip transpose yang ada di excel. Jika sebuah matriks berordo 3 x 4 ketika ditransporse akan menjadi matriks berorde 4 x 3. contoh: 
Dalam matriks dikenal istilah matriks simetri, yaitu matriks yang ketika ditranspose sama dengan sebelum ditranspos. Contoh:

Karena A = At maka A disebut matriks simetri.

    6. Determinan Matriks

Setiap matriks bujur sangkar mempunyai nilai determinan. Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar. Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matrik tersebut disebut matriks singular. Matriks singular tidak mempunyai invers/ balikan.

Determinan dari matriks-matriks khusus:

(a)     Matriks Diagonal

(b) Matriks Segitiga Atas

(c) Matriks Segitiga Bawah

 

Invers Matriks

Invers hanya dipunyai oleh matriks yang  tidak singuler. Invers matriks A dinyatakan dengan A-1 dan secara umum dirumuskan