Soal Dan Pembahasan Elips

SOAL DAN PEMBAHASAN ELIPS

Contoh soal :
Tentukanlah titik pusat, jari-jari pendek dan panjang dari persamaan elips 4x² + 9y² +16x – 18y – 11 = 0
Penyelesaian :
4x²+9y²+16x-18y-11=0
4x²+16x+9y²-18y-11=0
4(x²+4x)+9(y²-2y)-11=0
4(x²+4x+4)+9(y²-2y+1)=11+16+9
4(x+2)2+9(y-1)2=36


Pusat elips (-2,1)
Jari-jari panjang a2 = 9, maka a = √9 = 3
Jari-jari pendek b2 = 4, maka b = √4 = 2

Suatu jembatan yang berbentuk elips dibangun di atas jalan raya. Panjang dan ketinggian busur elips jembatan tersebut secara berturut-turut adalah 10 meter dan 6 meter. Apakah truk barang yang lebar dan tingginya secara berturut-turut 5 meter 5,5 meter dapat melewati jembatan tersebut tanpa menyebabkan kerusakan?

Pembahasan:

 Karena panjang busur elips tersebut 10 meter, maka kita peroleh 2p = 10 sehingga p = 10/2 = 5. Sedangkan tinggi dari busur elips tersebut adalah 6 meter, maka q= 6 meter. Dengan menganggap titik pusat elips sebagai titik asal, maka persamaan elips tersebut adalah

Agar jembatan tersebut dapat dilewati oleh kendaraan secara maksimal, maka kendaraan tersebut harus berada tepat di tengah-tengah jembatan tersebut. Selanjutnya, kita dapat menentukan ketinggian maksimal kendaraan yang dapat masuk, yang bergantung dengan lebar dari kendaraan tersebut.

Karena lebar truk tersebut 5 meter, maka kita harus menentukan y untuk x = 5/2 = 2,5, yaitu ketinggian maksimum untuk titik 2,5 meter di kiri dan kanan titik pusat elips

Karena tinggi truk barang tersebut 5,5 meter dan ketinggian maksimum jembatan pada titik 2,5 meter di kanan dan kiri titik pusatnya adalah 5,20 meter, maka truk barang tersebut tidak akan bisa melewati jembatan yang dimaksud.

Unsur-unsur Elips
Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus.



Dari gambar diatas, titik F₁ dan F₂ dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu :

1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB.
2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD.

Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips.
Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan :
–       Pusat elips O(0,0) ;
–       Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
–       Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0) ;
–       Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a
–       Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b

Persamaan Elips
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.

1. Persamaan elips yang berpusat di O(0,0)

Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (-c,0) dan F₂ (c,0)

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)
Dengan : – Pusat (0,0)
– Fokus F₁ (0,-c) dan F₂ (0,c)
Catatan :

1. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)

1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah

Dengan :
–       Pusat (α,β)
–       Titik fokus di F₁ (α-c, β) & F₂(α+c, β)
–       Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
–       Panjang sumbu mayor=2a
–       Panjang sumbu minor=2b
–       Persamaan direktriks

2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah

Dengan :
–       Pusat (α,β)
–       Titik fokus di F₁ (α,β-c) & F₂(α,β+c)
–       Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
–       Panjang sumbu mayor=2a
–       Panjang sumbu minor=2b
–       Persamaan direktriks






 Contoh Soal :

   Diketahui persamaan Elips 4x2 + 9y2 – 48x + 72y +144 = 0. Tentukanlah :

a.     Koordinat pusat

b.     Koordinat puncak

c.     Koordinat focus

Pembahasan :

          4x2 + 9y2 – 48x + 72y +144 = 0

        =                   4 (x2 – 12x) + 9 (y2 + 8y) = -144

        = 4 (x2 – 12x + 36) + 9 (y2 + 8y +16) = -144 + 144 +144

        =                           4 (x - 6)2 + 9 (y + 4)2 = 144

        =                                  (x - 6)2 + (y + 4)2 = 1

                                   36              16

a = 6,   b = 4,   c = √36 – 16 = √20 = 2√5,   p = 6, dan q = -4

a.     Koordinat pusat (p , q) = (6 , -4)

b.     Koordinat puncak :

     (p + a , q) = (12 , -4) ; (p – a ,q) = (0, -4) ;

      (p , q + b) = (6 , 0) ; dan (p , q - b) = (6 , -8)

c.     Koordinat Fokus

F1 (p + c , q) = (6 + 2 √5 , -4)

F2  (p – c , q) = (6 – 2 √5 , -4)

 Luas dari suatu elips dapat ditentukan oleh rumus L = πpq, dengan p dan q secara berturut-turut adalah jarak horizontal dan vertikal titik pusat dengan kurva elips. Tentukan luas elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144.

Pembahasan:

 Diketahui suatu persamaan elips 16x² + 9y² = 144, sehingga

 Dari perhitungan di atas kita memperoleh p = 3 dan q = 4. Grafik elips tersebut dapat ditunjukkan oleh gambar berikut.

 Sehingga, luas dari elips di atas dapat ditentukan sebagai berikut.

Jadi, luas dari elips yang memiliki persamaan 16x² + 9y² = 144 adalah 37,68 satuan luas.