Perpotongan fungsi linear dan fungsi kuadrat

Perpotongan Fungsi Linier dan Fungsi Kuadrat

FUNGSI LINEAR

Fungsi linier adalah fungsi polinom yang variable bebasnya memiliki pangkat paling tinggi adalah satu.: Y = a0+a1x1, Y variable terikat, x variable bebas.

a0 : konstanta,nilai positif, negatif, atau nol
a1 : konstanta, nilai positif, negatif, atau nol.

Untuk nilai a0 dan a1 yang memungkinkan positif, negatif atau nol, maka alternatif yang
mungkin untuk fungsi linier : Y =a1 + a1x1, yaitu: a0 = + ; a1 = +

Misal : a0= 4 dan a1= 2
Y = a0 + a1x maka Y= 4 + 2x

• PENGGAMBARAN FUNGSI LINEAR

Penggambaran fungsi linier dari berbagai alternatif untuk a0 dan a1 = 2
a. Y = 4 + 2 x ;dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,4) dan (-2,0)

b. Y = 4 –2x; dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,4) dan (2,0)

c. Y = -4 + 2 x dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya

(0,-4) dan (2,0)

d. Y = -4 – 2X dua buah titik yang dibutuhkan untuk menggambarkannya
(0,-4) dan (2,0)

Kesimpulan: Untuk fungsi linier Y = a0 + a1X a0 : intersep dan a1 :
gradien/kemiringan.

Intersep a0 merupakan titik potong antara fungsi linier dengan sumbu Y di atas
sumbu datar X

• ao positif maka perpotongan fungsi linier dengan sumbu Y di
atas sumbu datar X

• a0 negatif maka perpotongan fungsi linier dengan sumbu Y di
bawah sumbu datar X

• Jika a0 nol maka perpotongan antara fungsi linier dengan sumbu
Y pada titik (0,0)
Gradien a1 merupakan kemiringan fungsi linier terhadap sumbu X

• HUBUNGAN 2 FUNGSI LINIER

Ada dua fungsi linier dimana fungsi linier pertama yaitu, Y = a0 + a1 X dan
fungsi linier yang kedua yaitu Y’ = a0’+ a1’ X. Kedua fungsi linier berada dalam berbagai keadaan.

1. Berhempit

Karena berimpit, maka a0 = a0’ dan a1 = a1’
Contoh: fungsi linier I : Y = 4 + 2X
Fungsi linier II : 2Y = 8 + 4 X, intersep 8/2 = 4 ; gradien 4/2 = 2

2. Sejajar

karena sejajar, maka a0= a1’ dan a1 = a1’

Contoh: fungsi linear I : Y = 4 + 4 X, intersep 4 dan gradien 4
Fungsi linier II : Y = 2 + 4 X, intersep 2 dan gradien 4

3. Berpotongan

Karena berpotongan, maka a1 = a1’

Contoh : fungsi linear I Y = 4 + 4X, intersep 4, gradien 4 Fungsi linear II Y = 2 – 4 X, intersep 2 , gradien –4

4. Titik Potong Fungsi Linier

Untuk fungsi linear yang saling berpotongan dapat dilakukan dengan cara:
• Subsitusi
• Eliminasi
• Determinan

Contoh:
Carilah titik potong dari dua garis yang berpotongan yaitu 2X + 3 Y = 4 dan X + 2 Y = 1

Jawab:

1. Cara subsitusi
2X + 3Y = 4 ………….(1)
x + 2 Y= 1 >>>  x = 1 – 2 Y …………..(2)

Masukkan (2) pada (1)

2 X + 3 Y = 4                             Sehingga X = 1 – 2 Y
2 ( 1-2 Y) + 3Y = 4                                   X = 5
2-4Y+3Y = 4
2 – Y = 4
Y = -2

2. Eliminasi

3. Determinan

2X + 3Y = 4
X + 2Y = 1
Baik dengan cara eliminasi, substitusi maupun determinan, hasilnya X dan Y sama.

• PENAMAAN FUNGSI LINIER

1. Jika diketahui dua buah titik yaitu A (x1,y1) dan B (x2,y2)
Gambar:

 Untuk mengetahui garis yang tepat melalui kedua titik tersebut dengan rumus :

2. Jika diketahui sebuah titik A (X1,Y1) dan gradien/kemiringannya m
                

FUNGSI KUADRAT

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax² + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum

Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp )dengan :

Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y  = ax² + bx + c ) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x₁ dan x₂ . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya….

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya… bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

etelah kita mendapatkan nilai x₁ dan x₂ maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x₁ , 0 ) dan ( x₂ , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm   ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

GRAFIK FUNGSI LINIER DAN KUADRAT

Grafik Fungsi Linier dan Kuadrat – Pada pelajaran sebelumnya, telah dibahas bagaimana menyelesaikan dan menggambar grafik fungsi linier & grafik fungsi kuadrat. Oleh karena itu, pada pelajaran ini, kalian akan belajar tentang bagaimana menentukan titik potong serta nilai maksimum dan minimum dari suatu fungsi dengan menggunakan grafik.

Ingatlah kembali metode menggambar grafik fungsi linear dan grafik fungsi kuadrat.

Grafik persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c selalu berbentuk parabola. Sebagai contoh adalah grafik y = x2.

Titik puncak dari suatu grafik fungsi kuadrat adalah titik yang terletak pada sumbu simetri, dimana titik tersebut dilalui oleh parabola. Selanjutnya, jika koefisien dari x2 bernilai positif, maka titik puncaknya merupakan titik terendah dalam grafik. Akan tetapi, jika koefisien dari x2bernilai negatif, maka titik puncaknya merupakan titik tertinggi dalam grafik.

Nilai maksimum dari suatu fungsi kuadrat didefinisikan sebagai nilai terbesar yang dapat dicapai oleh fungsi kuadrat tersebut. Sedangkan nilai minimumnya didefinisikan sebagai nilai terkecil yang dapat dicapai oleh fungsi kuadrat tersebut.

Grafik persamaan linear y = ax + b selalu berupa garis lurus. Sebagai contoh adalah grafik y = x + 2.

Absis dari titik potong dengan sumbu X diperoleh ketika y = 0. Sedangkan ordinat dari titik potong dengan sumbu Y diperoleh ketika x = 0.

Lebih lanjut, dalam pelajaran ini kalian akan belajar untuk menganalisa suatu grafik fungsi dan secara khusus akan belajar tentang bagaimana untuk :

       •menentukan nilai maksimum dan minimum serta titik potong dari suatu fungsi kuadrat dengan menggunakan grafik

       •menentukan titik potong dari sutu persamaan dengan menggunakan grafik

Contoh 1 :

Gambarlah grafik y = 2x + 8 !

Selanjutnya, tentukan titik potong dengan sumbu X!

Penyelesaian :

Perhatikan grafik y = 2x + 8 pada gambar di bawah!

Seperti yang terlihat pada grafik, nilai y = 0 saat x = -4.

Dengan demikian, titik potong grafik dengan sumbu X adalah (-4,0). Hal ini dapat diperiksa kebenarannya dengan cara mensubtitusikan y = 0 ke dalam persamaan.

                0 = 2x + 8

                x  = -4

Contoh 2 :

Gambarlah grafik y = (x-4)(x+4) dan tentukan titik potong antara grafik dengan sumbu Y!

Penyelesaian :

Perhatikan grafik y = (x-4)(x+4) pada gambar di bawah!

Seperti yang terlihat pada grafik, nilai x = 0 saat y = -16.

Dengan demikian, titik potong grafik dengan sumbu Y adalah (0,-16). Hal ini dapat diperiksa kebenarannya dengan cara mensubtitusikan x = 0 ke dalam persamaan.

                y = (0-4)(0+4)

                y = -16

Lebih lanjut, grafik tersebut akan mempunyai nilai minimum pada titik (0,-16). Hal ini terjadi karena titik tersebut merupakan titik terendah yang dapat dicapai oleh grafik.

Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa sebuah persamaan kuadrat hanya dapat mempunyai nilai maksimum atau minimum saja, tetapi tidak keduanya